√2可作图，π为何不能？-ZOL问答

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这个问题看起来简单，但实际上并不容易回答。在开始解答前，先澄清一个常见的误解：当我们说画出根号2时，实际上指的是用尺规作出一条长度为根号2倍单位长度的线段。同理，所谓画出π其实应理解为能否用尺规作出一条长度为π倍单位长度的线段。
要理解这个问题，我们需要从π的性质入手。我们在初中阶段就学过，π是一个无理数，也就是说它的小数部分无限不循环。然而，π还具有一种更特殊的数学性质——它是一个超越数。超越数的概念最早于1844年由法国数学家约瑟夫·刘维尔提出，π和自然常数e都被证明属于这一类数。超越数的定义是：它不能成为任何有理系数多项式方程的根。
尺规作图在数学上其实对应的是对长度进行一系列有限的加、减、乘、除以及开平方的运算。换句话说，尺规作图所能构造出的所有长度，本质上都是代数数，也就是某些有理系数多项式方程的解。
既然π是超越数，根据定义它无法作为这类方程的解，因此也无法通过有限次的尺规操作来构造出长度为π的线段。也就是说，无论我们多么巧妙地使用直尺和圆规，都不可能精确地画出长度恰好为π的线段。这一结论不仅是对π本身性质的揭示，也体现了数学中代数与几何之间的深层联系。

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