什么是矩阵A的最小多项式

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如果f(x)是非零多项式,且满足f(A)=0,那么f(x)是A的一个零化多项式
A的所有首一的零化多项式中次数最低的那个就是A的最小多项式
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我一般用两种方法,一种是根据矩阵求初等因子组,另一种是根据特征根和特征向量对特征根的重根进行分解.以第二种为例:det(sI-A)=0解得特征值,若特征值为单根,则该特征值构成一个1阶约当块,若为N重根,考察sI-A的秩,若秩为N,则构成一个N阶约当块,若秩为k,k
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“特征值无重根的矩阵,它的特征多项式和极小多项式是不是一样的”


“roots of minimal polynomial that cannot be determined in terms of the radicals”
这只是说明这个矩阵的特征值无法用系数的有限次四则运算和开方来表示
一般来讲一元五次方程没有“求根公式”(在上述意义下),所以五阶或更大的矩阵的特征值也没有这样的根式解

”一个矩阵的jordan标准型根极小多项式有什么关系“
你先把单个Jordan块的极小多项式搞清楚,这个问题大致就明白了
当然,极小多项式不需要域扩张,而且只要有限步就能算出来,但Jordan标准型不行
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  具体过程如下图:

  

  
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A矩阵为友矩阵,其lambda矩阵为 lambda *E-A 其中E为单位阵
lambda矩阵的n-1阶行列式因为为1 (取包含全 -1的n-1阶子矩阵块,其行列式为常数)
所以lambda矩阵的第 n 个不变因子即为 lambda的行列式

所以友矩阵的最小多项式就是 lambda矩阵的行列式 (因为n阶矩阵的最小多项式就是其特征矩阵的的第n个不变因子)

其中 lambda矩阵是指矩阵的特征矩阵
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