先说一下：这里W1+W2指的是一个新的集合W，,其元素是w1+w2其中w1属于W1，w2属于W2。 以下是证明：（w1、w2是V的线性子空间）（V定义在属于F上）首先{0}属于W1、W2故{0}也属于W；任意w3、w4属于W，存在w5、w6属于W1，w7、w8属于W2，使得w5+w7=w3、w6+w8=w4；因为W1、W2是V的线性子空间，所以w5+w6属于W1、w7+w8属于W2，而w3+w4=（w5+w6）+（w7+w8）也属于W，所以W关于加法是封闭的。此外，任意数a属于数域F，a*w5属于W1，a*w7属于W2；所以a*w3=a*(w5+w7)=a*w5+a*w7也属于W；说明W对于标量乘法也是封闭的。综合，{0}属于W、W对于加法封闭、W对于标量乘法封闭，所以W是V的线性子空间。证毕
w1+w2成为线性子空间是因为它继承了原两者的特性——对于任何两个属于该组合的向量x, y以及任意实数a, b, (ax + by)都属于这个新组合的空间。这是由定义所决定的，并非偶然现象
想象一下你有两个画布上的色块区域（就像你的两个子空间），当你把它们并排放置或混合在一起时，新的颜色区域仍然遵循色彩混合的基本原理（如叠加原则）。同样道理，在数学上这个并置或混合就形成了一个新的线性子空间
线性子空间的定义就是能够保持线性运算规则的地方。当你把w1和w2合并时，并没有改变这些规则，比如你可以正常地做加减乘除操作且结果还是在同一个结构里，这就保证了它是另一个线性子空间
因为线性子空间有三个基本性质：加法封闭、数乘可分配和零元素存在。当w1和w2相加时，如果两个向量都在这两个子空间内，它们的和也必然在新的集合里，满足加法封闭；同时，对任意标量进行线性组合后的新向量依然在这个新集合中；零向量作为所有向量的加法逆元也在其中。所以w1+w2是线性子空间
