如何快速求一个点有关一条直线的对称点的坐标?

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1. 设所求对称点A的坐标为(a,b)。
根据所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到一个关于a,b的二元一次方程(1)。

2. 因为A、B两点关于已知直线对称,所以直线AB与该已知直线垂直。
又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1*k2=-1。
设已知直线的斜率为k1(已知),则直线AB的斜率k2为-1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式:k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1,得到一个关于a,b的二元一次方程(2)。

3. 联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。

举例:
已知点B的坐标为(-2,1),求它关于直线y=-x+1的对称点坐标?
设所求对称点A的坐标为(a,b),则A和点B(-2,1)的中点C坐标为((a-2)/2,(b+1)/2),且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得,
b+1/2=-(a-2/2)+1, 可得:a+b=3 (1)
因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称,所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1,所以直线AB的斜率为1
AB斜率:b-1/a+2=1 (2)
联立方程(1)、(2),解二元一次方程组得:a=0,b=3
所以该点的坐标为(0,3)
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有时向量法确实比解析法三角法等更有优势,比如前不久我在工作中开发CNC刀具补偿算法时,全局采用矢量法,避免了解析法的繁琐,且全过程不含一条三角函数或反三角函数,使速度和精度提高了好几个等级。
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过P做直线的垂线,以直线x+y+c=0为例,垂线为y=x+b-a
联立两个方程可求得垂线与直线交点M((a-b-c)/2,(b-a-c)/2)
M为P,Q中点故m=-b-c n=-a-c
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可以通过解方程。比如已知直线方程为Ax+By+C=0已知点为$(x_0,y_0)$,设对称点为$(x_1,y_1)$那么我们知道向量$(x_1-x_0,y_1-y_0)$同直线垂直,由此得到$(x_1-x_0)B-(y_1-y_0)A=0$另外我们知道两点中点在直线上,得到$A(x_1+x_0)+B(y_1+y_0)+2C=0$解方程组可以得到$x_1,y_1$.同样对于三维情况类似
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最快的方法是公式法,事先推导,然后牢牢记住。可是谁愿意记它呢?
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我上午也想到4#的方法了,不过突出的是“平面的法线式方程”和“点到平面的距离公式”而不是向量(但写帖时采用了向量记法)。我直接写的三维的情况,没来得及发,也不用发了。4#的过程有点欠缺,就是距离公式去掉绝对值符号后如何决定正负号,这点用法线式方程说得比较透彻。
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