已知抛物线C1:x^2=y,圆C2:x^2+(y-4)^2的圆心为点M.已知点P是抛物线C1上的一点(异于原点),过点P作圆C2

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已知抛物线C1:x^2=y,圆C2:x^2+(y-4)^2的圆心为点M.已知点P是抛物线C1上的一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1与A.B两点,若过M.P两点的 查看全部

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h5wedc55be 见习专家

设点P(x0,x02),A(x1,x1^2),B(x2,x2^2);由题意得:x0≠0,x2≠±1,x1≠x2,设过点P的圆c2的切线方程为:y-x02=k(x-x0)即y=kx-kx0+x02①则 |kx0+4-x02|/根号1+k2=1,即(x02-1)k2+2x0(4-x02)k+(x02-4)2-1=0,设PA,PB的斜率为k1,k2(k1≠k2),则k1,k2应该为上述方程的两个根,∴ k1+k2=2x02(x02-4)/x02-1, k1•k2=(x02-4)2-1/x02-1;代入①得:x2-kx+kx0-x02=0 则x1,x2应为此方程的两个根,故x1=k1-x0,x2=k2-x0∴kAB=x1+x2=k1+k2-2x0= 2x0(x02-4)/(x02-1)-2x0,kMP=x02-4/x0由于MP⊥AB,∴kAB•KMP=-1⇒ x02=23/5 故P (±根号23/5,23/5)∴ 直线l的方程为:y=±3x根号115/115 +4.
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